Warning: Declaration of action_plugin_captcha::register(&$controller) should be compatible with DokuWiki_Action_Plugin::register(Doku_Event_Handler $controller) in /var/www/fs3/43/helixryf/public_html/tenttiwiki/lib/plugins/captcha/action.php on line 0
todennaekoeisyyslaskennan_kurssi - Tenttiwiki
Tenttiwiki

Todennäköisyyslaskennan kurssi

Välikoe 1

25.10.2006

Kaikissa tehtävissä on esitettävä kunnolliset perustelut ratkaisulle. Kukin tehtävä on 6 pisteen arvoinen.

  1. Esitä Venn-diagrammin avulla kaksi satunnaistapahtumaa A ja B, jotka ovat ehdollisesti riippumattomia annettuna kolmas satunnaistapahtuma C. Huomaa, että Venn-diagrammissa tapahtumien pinta-alat ovat suhteessa niiden todennäköisyyksiin.
  2. Olkoon A ja B riippumattomia satunnaistapahtumia, Osoita että tästä seuraa satunnaistapahtumien Ac ja Bc riippumattomuus (Ac ja Bc ovat näiden tapahtumien komplementtitapahtuma).
  3. Oletetaan että satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson(k)-jakaumaa, missä k = 5. Laske X:n odotusarvo ja varianssi.
  4. Geometrisen jakauman massafunktio on muotoa:
     pX(x) = p(1-p)^(x-1), kun x = 1,2,...
     pX(x) = 0,            muuten

Tätä jakaumaa vastaa seuraava todennäköisyysmalli. Olkoon p todennäköisyys sille että Bernoulli-muuttuja (0-1) saa arvon yksi. Toistetaan Bernoulli-muuttujan arvoja generoivaa satunnaiskoetta kunnes saadaan ensimmäisen kerran arvo yksi. Merkitään tehtyjen toistojen lukumäärää X:llä, jolloin X noudattaa ylläolevaa geometrista jakaumaa. Osoita tämän jakauman ns. muistittomuus-ominaisuus, eli että P(X ≥ a+b | X ≥ a) = P(X ≥ b), missä a ja b ovat kaksi mielivaltaista positiivista kokonaislukua.